Revisitando o modelo do crescimento logístico

 Talvez não estejamos tratando com o valor máximo, mas apenas o valor que o mercado considera justo.

Ao aplicarmos a equação:

Para calcular  em diversas ações temos um comportamento que segue a valorização do preço no mercado acionário.

Ações da TIM	Ações da VIVO
Ações do Banco do Brasil

Este modelo é interessante e segue mais ou menos a curva das ações, mas com variações abruptas em alguns pontos. Então podemos aproximá-lo em primeira ordem como uma variação do valor da ação no cálculo. A ideia é usar a UT para estimar um valor de modo a podemos calcular estimadores:

Assim:

Isso foi considerando distribuição normal:

Se considerarmos um desvio padrão de 10% temos:

Onde os pontos sigma são:

Para calcularmos o fator de crescimento partimos da equação logística discreta:

Se usarmos os pontos sigma calculados vemos que temos uma situação meio complicada:

Com dados medidos, temos que muito raramente temos . Isso provavelmente indica que usar uma distribuição simétrica não é a melhor escolha. Se usarmos a exponencial com distribuição, o caso de três pontos tem o seguinte conjunto de pontos com pesos:

Pontos	0.4158	2.2943	6.2899
Pesos	0.71	0.28	0.01

Na distribuição exponencial para que a média seja , temos os seguintes pontos sigma:

O que resulta em três equações diferença:

Daqui teremos três valores para  baseados nos pontos sigma. Devido a natureza das equações, podemos calcular primeiro:

E a partir daí calculamos os valores médios usando:

Daí podemos determinar os referidos pontos:

De posse desses dados podemos estimar valores futuros usando:

No caso a variável pode ser normal com a média e o desvio calculados. Após encontramos o valor da média usando:

Usando esta expressão com uma simulação de Monte-Carlo para 44 dias temos os seguintes resultados:

Média	R$ 24.5383
Desvio	R$ 0.2909
Valor Mínimo	R$ 23.2223
Valor Máximo	R$ 25.8825

Já a densidade de probabilidade parece bastante com uma gaussiana:

Densidade de Probabilidade com 3 pontos sigma – Caso TIM 44 dias

Mas sabemos que podemos usar mais pontos na UT. Se fizermos a mesma simulação para 5 pontos com as mesmas condições temos os seguintes resultados:

Média	R$ 22.6636
Desvio	R$ 0.4234
Valor Mínimo	R$ 20.9541
Valor Máximo	R$ 24.7767

A densidade de probabilidade também se parece com uma gaussiana. Mas note que há uma diferença razoável entre as duas predições. Nesse caso a predição com 5 pontos é provavelmente mais próxima da realidade.

Densidade de Probabilidade com 5 pontos sigma – Caso TIM 44 dias

Um ponto interessante é que no dia 15/01 (44 dias – igual a predição), o preço da ação da TIM era de R$ 22.71. No modelo de retorno exponencial usando os 95 pontos para estimação, o valor de 95% de confiança ficava entre R$ 22.07 e R$ 30.12 (o de 45 pontos ficava entre R$ 22.54 e R$ 30.13). Se for olharmos hoje (19/02) o valor está em R$ 27,09 possivelmente devido a um resultado melhor com crescimento de 9%. Isto nos leva a uma questão: como saber qual é o melhor método a partir de dados reais?