Uma outra forma de calcular o valor máximo

Como vimos anteriormente, um dos modelos de cálculo de evolução no preço de ações usava o conceito de teto de valor (mercado finito) e era descrito pela equação:

A equação precisa de dois dados para ser resolvida: a taxa  e o valor . Este modelo contrasta com o primeiro modelo de retornos logarítmicos:

Nos dois casos conseguimos obter a densidade de probabilidade de retorno em função do tempo:

Para cada t tínhamos uma distribuição específica. Mas em geral, o estudo de ações é realizado através da variação de preços (ou seja, da derivada do preço no tempo). Então ao invés de estudarmos a distribuição do preço vamos estudar a distribuição da variação de preço. Com isso vamos considerar as equações da variação relativa de preço:

No caso usamos as soluções para determinar a densidade de probabilidade da variação de preço. No caso da log-normal:

Então isso quer dizer que a densidade de probabilidade de  tem a mesma densidade de probabilidade de , ou seja, gaussiana. Isso não corresponde ao que sabemos das variações de ações em casos práticos.

O caso da distribuição com máximo tem a solução:

Para o efeito de cálculo vamos usar T=0, assim:

Vamos calcular a equação:

Mas ao substituirmos na equação temos:

Então precisamos determinar a densidade de probabilidade da função:

Sabendo que  é gaussiana. Para tanto temos de calcular a função inversa. E isso é um problema pois temos uma função transcendental mesmo sabendo a transformação:

Do ponto de vista de simulações, desde que  , a densidade é essencialmente gaussiana. Mas se  for próximo a  temos uma distribuição extrema (com valores muito superiores a 6 desvios padrões). O problema é que não conseguimos calcular analiticamente estes valores.

Densidade quando . Valores extremos em torno de 5 desvios padrões	Densidade quando  é 1/6 de . Valores extremos em torno de 9 desvios padrões

Então isso quer dizer que pelo menos uma parte do comportamento da variação do preço de ações em casos reais pode ser explicada pelo parâmetro . Na realidade, podemos pensar que o mercado ajusta a percepção do valor de  a cada instante gerando um movimento no preço da ação. Isso é realista? Bem, em parte serve como o parâmetro adicional que permite que este modelo simples acompanhe o mercado:

·        Boas notícias?  aumenta

·        Más notícias?  diminui

E com esse parâmetro temos um ajuste externo do modelo:

Mas como usar este modelo com as informações dos preços das ações? Bem, podemos

determinar os fatores desconhecidos ( e ) a partir dos dados que tínhamos (). Vamos modificar a equação para:

Originalmente consideramos um valor arbitrário para  e fizemos os cálculos a partir dessa suposição. Mas podemos ter uma ideia de  se fizermos uma troca de variáveis:

Com isso temos uma equação:

Se considerarmos dois conjuntos temos

Com isso podemos montar o sistema de equações:

A solução é:

 

 

 

Depois de resolver o sistema podemos encontrar  usando:

No caso da TIM, se usarmos os dois valores finais temos:

Bem, idealmente é melhor resolver isso por mínimos quadrados pois afinal temos muitos pontos então

A solução é obtida usando:

Uma das vantagens é que obtermos o valor esperado de  sem precisar fazer cálculos adicionais. O valor do máximo obtido da TIM e da VIVO são:

E com isso podemos montar uma nova tabela de valorização da ação usando os diversos métodos.

Preço/Ação	TIM	VIVO
Graham	R$ 9.37	R$ 29.95
Bazin	R$ 12.50	R$ 23.83
Modelo Logístico	R$ 25.27	R$ 33.16
Mercado	R$ 24.58	R$ 33.39

Este resultado tem algumas informações relevantes:

·        O valor da ação está muito próximo do valor máximo calculado pela série temporal. Isto indica chance de variações abruptas

·        No caso da VIVO, o valor máximo está ligeiramente abaixo da cotação. Isto indica tendência de baixa com variações abruptas.

Bom, mas podemos usar isso? Sim e não. Assim como os outros métodos de valorização isso é apenas uma estimativa. Serve para indicar possíveis movimentos, mas não dá para ser um indicador sem erros.