Equações de População

Pensando na questão da economia, vi que as equações não lineares podem indicar alguns comportamentos com relação a produção.

Imagine que em uma região temos uma comunidade que explora um determinado recurso finito x(t) e o transforma em um produto y(t). Portanto, se não há renovação, a taxa de variação do recurso pode ser escrita como:

dx/dt = -a1*x(t)*y(t)

O sinal de menos é necessário, pois a comunidade está depletando o recurso na criação do novo recurso y(t). De modo similar a taxa de criação será:

dy/dt=a2*x(t)*y(t)

Tanto a1, quanto a2 são constantes positivas. Isto indica a conversão completa de x(t) para y(t). Existe ainda a questão que as condições iniciais não podem ser nulas, mas no caso de x(t) isto é esperado - pois se trata do recurso a ser explorado.

O problema das condições iniciais não nulas de y(t) pode ser resolvido fazendo-se uma alteração nas equações, seja y(t)=z(t)+y(0). Neste caso z(0) pode ser zero, desde que as condições iniciais de y(0) sejam incluídas na equação.

Desta forma:

dx/dt = -a1*x(t)*(z(t)+y(0))=-a1*x(t)*z(t)-b1*x(t)
dz/dt=a2*x(t)*(z(t)+y(0))=a2*x(t)*z(t)+b2*x(t)

Dadas as características do problema, sabemos que tanto b1 quando b2 são positivos. Mais ainda, o pontos de equilíbrio da equação se tornam mais claros utilizando a notação de valores iniciais não nulos representados através de novas variáveis.

Portanto, fazendo a mesma coisa com x, temos x(t)=w(t)+x(0). Assim:

dw/dt = -a1*(w(t)+x(0))*z(t)-b1*(w(t)+x(0))
dz/dt=a2*(w(t)+x(0))*z(t)+b2*(w(t)+x(0))

Expandindo:

dw/dt = -a1*w(t)*z(t)-b1*w(t)-c1*z(t)-d1
dz/dt=a2*w(t)*z(t)+b2*w(t)+c2*z(t)+d2

Aonde d1=a1*x(0)*y(0), d2=a2*x(0)*y(0), c1=a1*x(0), c2=a2*x(0), b1=a1*y(0) e b2=a2*y(0).

Assim podemos calcular os pontos de equilíbrio resolvendo:

a1*w*z+b1*w+c1*z+d1=w*z+y(0)*w+x(0)*z+x(0)*y(0)=0
a2*w*z+b2*w+c2*z+d2=w*z+y(0)*w+x(0)*z+x(0)*y(0)=0

ou seja:

w*z+y(0)*w+x(0)*z+x(0)*y(0)=0

Naturalmente, estes pontos de equilíbrio ditarão o comportamento final do sistema.
Mesmo assim, o ponto importante é como o sistema final irá se comportar. Com condições iniciais x(0) =1 e y(0)=0.01 temos:
Esta é a curva do produto. Note que a curva é limitada a um valor máximo (que pode ser ajustado de acordo com as condições de contorno). A curva de extração segue um padrão similar até que o recurso é completamente depletado. A relação entre as curvas será dada pelas condições iniciais e pelos coeficientes.

Mas o que acontece quando surge um terceiro nível?

Bem isto veremos depois

Mais Capital

Finalmente encontrei algo relacionado com a questão do mercado consumidor no segundo volume do primeiro livro de "O Capital".

Pelo que vejo, nenhuma análise econômica que preze a relação entre o modelo e o fenômeno pode esquecer esta conexão.

Em palavras muito simples é: qualquer sistema de produção tem que ter um mercado consumidor. E o mercado consumidor não pode ser destituído de recursos, do contrário não existe mercado. É mais ou menos o seguinte: um sistema de trocas.

Se um dos lados não tem o que trocar então a troca não se realiza.

E isto é um ponto importante: se temos duas classes: trabalhadores e donos dos meios de produção, temos um sistema meio falho. Porque? Bem, o sistema se baseia no seguinte fato: os trabalhadores são pagos pelo seu trabalho (justa ou injustamente) e usam os recursos recebidos para compra de mercadorias.

O problema é que se não forem pagos adequadamente, não existe mercado consumidor. E sem mercado consumidor não existe razão de se fabricar algo. Em outras palavras, se os donos dos meios de produção pagam salários cada vez mais injustos, então os trabalhadores não tem o suficiente para comprar mercadorias - e eventualmente todos saem no prejuízo.

No Capital, existe uma alusão a este processo. Mas parece que Marx não quis levar a cabo a conclusão lógica do raciocínio: exploração em demasia leva inexoravelmente ao fim do sistema produtivo (qualquer que seja).

Mas toda esta expreiência tem sido um indicativo que não só o modo capitalista, mas outros modos de produção merecem ser analisados com mais detalhes.

Um ponto que me parece bastante interessante é o relacionamento entre os senhores de terra e os camponeses que viviam nela. Os camponeses trabalhavam a terra e da produção pagavam algo para o senhor de terra. O senhor de terra fornecia proteção e segurança aos camponeses, mas a terra era eventualmente dele. O poder do senhor de terra estava na sua força.

Era um relacionamento um tanto que estranho, mas aparentemente funcional. Daí, o senhor de terra tinha um relacionamento similar com o rei. E este mais ou menos mantinha os diversos senhores de terra em uma condição estável. A riqueza do senhor de terras provinha de duas fontes: o tributo dos camponeses e os despojos de guerras.

Fico imaginando se isto não resulta em um modelo matemático. Talvez algo do tipo presa e predador? Talvez algo como Lotka-Volterra

Na forma simplificada temos:

Mas provavelmente com a inclusão de um termos relativo ao recursos disponíveis:

Provavelmente teremos algo assim, sujeito a algumas restrições. A capacidade de x1 é limitada em K1 e a capacidade de x2 é limitadas em K2.

Mas existem algumas diferenças:
- Os senhores contribuem para a estabilidade da população ao proteje-la de agressões externas.
- Os senhores retiram partes dos recursos da população como pagamento pela proteção destas agressões externas.
- A população retira da terra os recursos que usam para sobreviver e fornecer ao senhor da terra.

Se estamos tratando de riquezas, então temos que as riquezas nascem do relacionamento entre a terra e os camponeses. Quanto mais camponeses, maior a taxa de extração de riquezas. Mas ao mesmo tempo as riquezas estão limitadas pela capacidade da terra. Então temos:

Riqueza da terra é função da capacidade de produção da terra e do número de camponeses.

dr/dt=f(R,x)=f(x)*r=F0*r+F1*x*r

O número de camponeses é função da riqueza que conseguiram extrair da terra, da proteção que conseguem do senhor da terra (que se traduz na riqueza do senhor da terra) e da taxa de mortalidade dos mesmos.

dx/dt=g(r,s)*x=G0*x+G1*r*x+G2*s*x

A riqueza do senhor de terras é função do que os camponeses forneceram para ele e dos gastos que ele tem na proteção dos camponeses.

ds/dt=h(r,x)*s=H0*s+H1*r*s+H2*x*s

Olhando bem e assumindo constantes positivas, temos algo como

dr/dt=a0*r*(1-a1*x)
dx/dt=b0*x*(-1+b1*r+b2*s)
ds/dt=c0*s*(1+c1*r-c2*x)

Esta provavelmente é a dinâmica da uma relação produtiva do tipo feudal. O único fator curioso é o coeficiente 1 que indica o crescimento da riqueza do senhor de terra com o passar do tempo.

Depois vou analisar estas equações para ver o que posso observar

Duvido que seja linear

Olhando para o problema da manufatura, notei que temos mais algumas coisas a considerar.

A primeira delas é a matéria prima, que vamos chamar de M.

A outra podemos chamar de modo genérico dos meios de produção P.

Portanto a função do trabalho para uma pessoa depende não só dele mesmo, mas também dos demais elementos:

W1=f(T1,M,P)

Se isto for uma função linear podemos expandir como:

W1=a1*T1+b1*M+c1*P

Mas na presença de outra pessoa, a função pode mudar:

W1=a11*T1+a12*T2+b1*M+c1*P

E no caso genérico ficamos com:

[W]=[A]*[T]+[B]*[M]+[C]*[P]

Portanto o trabalho realizado não depende somente do trabalho individual, mas além disto de como os meios de produção e matéria prima são utilizados por todos os trabalhadores do processo.

Um uso mais eficiente de matéria prima irá alterar a matriz [B].

Meios de produção melhores irão alterar [C].

A razão destes termos extras está no fato da matriz [A] não poder se alterar significativamente. A presença de mais trabalhadores não irá simplesmente aumentar a capacidade de trabalho dos demais indefinidamente. É necessário que existam termos adicionais para explicar o que acontece quando há saltos na produtividade.

Mas mesmo isto não está inteiramente correto. Somente a interação entre o trabalho, a matéria prima e os meios de produção é que efetivamente irá realizar a transformação da matéria prima em mercadoria.

Assim se W1=f(T1,M1,P1), então os termos não nulos envolvem a interação dos três:

W1=a1*T1*M1*P1+b1*T1^2*M1*P1+c1*T1*M1^2*P1+d1*T1*M1*P1^2+....

ou de uma forma mais genérica:

W1=a(T1,M1,P1)*T1*M1*P1

Se qualquer um dos termos for nulo, então não haverá trabalho realizado na forma de mercadorias.

A presença de mais participantes complica o relacionamento de forma significativa.

W1=f(T1,T2,M1,M2,P1,P2)

Então:

W1=a1*T1*M1*P1+a2*T2*M2*P2+b1*T1*M2*P1+c1*T2*M1*P1+d1*T1*M1*P2+....

De modo genérico é possível agrupar como:

W1=a1(T1,T2,M1,M2,P1,P2)*T1*M1*P1+a2(T1,T2,M1,M2,P1,P2)*T2*M2*P2

Estes termos talvez possam explicar o ganho de produtividade na presença de mais pessoas.

Isso me faz crer que a não linearidade de processo provavelmente é a explicação para o processo de produção.

Mantendo alguns termos constantes é bem possível linearizar o problema.

Depois volto a investigar isto, mas de qualquer modo parece-me que a agregação do valor do produto ser dado exclusivamente pelo trabalho torna-se cada vez mais uma premissa fraca

Terminei o primeiro volume do Capital, mas ainda estou no primeiro livro

A leitura do livro tem sido muito interessante.

Em grande parte estar lendo o livro tira muito das incertezas que o desconhecimento traz. E alguns pontos merecem destaque:

1) Marx tem uma tendência panfletária muito grande no livro, mas isto está essencialmente contido nos comentários do livro (por si muito interessantes).

2) O uso da palavra contradição é um tanto quanto diferente do que estou acostumado. Aparentemente ele uso este termo para quaisquer consequências que originalmente não foram previstas no assunto em questão.

3) Um pedaço razoável do livro trata das condições de trabalho na Inglaterra do século XIX. E realmente, lendo os relatos fica difícil não empatizar com a dura realidade daqueles trabalhadores

4) Marx imbui o capitalista de uma aura mítica bem adequada ao tom panfletário. Ora este é um estúpido sem coração, ora é um ser sagaz, oniscente e onipontente sem coração. Como dá para ver a única característica constante é que o capitalista de Marx é sem coração.

5) Apesar de não ter escrito de modo claro, dá para ver que o capitalista de Marx (que se confunde com o termo burguês) é dono dos meios de produção, paga aos trabalhadores um dado valor pelo trabalho realizado e organiza a produção.

6) Marx dá muito mais valor a cooperação como sendo "a forma" de aumentar a produção, isto em detrimento da organização do trabalho - que por vezes ele considera daninha.

7) Existe claramente em Marx uma certa associação entre o burguês (capitalista) e as autoridades, mas mesmo apesar disto ele sempre destaca um ou outro "herói" que denuncia as mazelas trazidas por esta ou outra forma de produção.

8) O papel das máquinas é visto de modo um pouco inocente, se olharmos o dia de hoje. Isto só prova que Marx foi um homem do seu tempo. Me dá arrepios pensar que alguém queira manter esta visão para o dia de hoje.

9) A teoria do valor do trabalho de Marx, de onde surge a "mais valia" (que nada mais é do que um valor excedente) me parece firmemente ligada ao conceito que o tempo de trabalho era a grandeza fundamental na determinação do valor. Apesar de não contradizer o efeito do mercado, Marx definitivamente subestima este efeito na determinação do valor.

10) Mesmo que o capitalista fosse um abnegado, mesmo que a teoria do valor do trabalho estivesse certa, mesmo que a máquina tivesse o efeito previsto por Marx, mesmo que todas estas suposições estivessem corretas, o conceito por trás do texto ainda continuaria sendo panfletário com o objetivo de criar atritos entre os participantes.

Mas vou continuar lendo, tenho certeza que há mais coisas interessantes no texto.

A propósito, pensando mais uma vez na teoria do valor do trabalho, pensei em algo com relação ao papel de mais participantes.

O trabalho de uma pessoa W1 pode ser visto como uma função do uso do seu tempo f(T1). Em linguagem matemática:

W1=f(T1) = f(0)+a1*T1+a2*T1^2+a3*T1^3+...

Supondo que não há trabalho realizado se não há tempo gasto temos:

W1=a1*T1+a2*T1^2+a3*T1^3+...

Mas se tivermos mais pessoas envolvidas teremos f(T1,T2,T3,T4....), então a série se complica. Se mantivermos somente os termos lineares:

W1=a1*T1+b1*T2+c1*T3+....

Se os termos multiplicativos forem positivos isto quer dizer que teremos mais trabalho realizado por 1 quando mais pessoas são agregadas ao processo. O interessante é que isto também pode ser escrito na forma matricial:

[W]=[A][T]

O trabalho total é simplesmente a soma de todos os elementos de W.

E isto é o conceito que várias pessoas trabalhando de modo agregado permitem que o trabalho final seja maior. Um ponto interessante é quantificar este ganho.

Mas depois voltamos a este ponto

Mas algumas coisas

Podem ficar claras. Efetivamente, em primeira análise, o número de pessoas que compra uma determinada mercadoria tem uma relação inversa com o preço da mercadoria.

Ou seja, quanto menor o preço da mercadoria, maior o número de pessoas comprando. E quanto maior o preço da mercadoria, menor o número de pessoas comprando.

Em uma primeira análise, podemos dizer que:

N =K/ f(P) aonde P é p preço e N é o número de pessoas que compram. É importante notar que df/dP é negativa.

De modo simples, o faturamento é F=N*P = P*K/f(P).

O faturamento máximo pode ser calculado com as regras de derivação:

(f(P)-P*df/dP)/f(P)^2=0

Daqui tiramos que:

P*df/dP=f(P)

Isto é uma equação diferencial simples: df/f=dP/P

E isto resulta em uma relação do tipo f(P)=P0+a*P

Então temos:

F=P*K/(P0+a*P)

Naturalmente o número máximo será com P=0 ou seja Nmax=K/P0, desta forma P0=K/Nmax.

O número mínimo será com P infinito, que resulta em zero.

De qualquer modo

N=Nmax/(1+a*P/Po)

Se formos observar apenas este lado, vemos que o número de unidades vendidas diminui quando se aumenta o preço. Quando a*P/P0=1, temos metade do possível mercado consumidor sendo coberto. Isto significa que:

P=P0/a

Mas para vermos o ponto real de máximo faturamento, temos que considerar os custos do lado do fabricante:

C=a1*M+a2*T+E e isto pode ser modelado como C(N)=C0+C1*N+C2*N^2+....

Mas vamos manter somente na primeira ordem, assim:

F=P*Nmax/(1+a*P/P0)-C0-C1*Nmax/(1+a*P/P0)

No equilíbrio F=0, então

(P-C1)*Nmax/(1+a*P/P0)=C0 ou seja P*Nmax=C0+C1*Nmax+a*C0*P/P0

Rearranjando

P*(Nmax-a*C0/P0)=C0+C1*Nmax

Portanto

P=(C0+C1*Nmax)/(Nmax-a*C0/P0) = C/(Nmax-a*C0/P0)

Isto significa que o preço de venda será evidentemente dado primariamente pelos custos.

Mais surpresas sobre "O Capital"

Aproveitando "O Capital", resolvi nao só estudar mais o livro como outras fontes sobre o assunto. Deparei-me com a questão da teoria do valor de trabalho.

Esta teoria afirma que o valor agregado do capital é produzida pelo trabalho. A idéia é interessante, porém incompleta. Afinal, desprezar o efeito do mercado é furada. Mas o interessante é que não só Marx, mas mesmo Adam Smith e David Ricardo tinham idéia similar a respeito.

O problema é o seguinte: O que determina o valor de uma mercadoria? Certamente temos

a) Matéria Prima
b) Mão de Obra
c) Maquinário
d) Obrigações de empréstimos (bancos, local da fábrica, etc).
e) Recompensa ao empresário (lucro)

Certamente o preço inclui todos os itens. Mas segundo Marx é o item b que determina em última análise o valor (ou pelo menos a agregação de valor). No entanto, fica claro que além dos itens a-e ainda temos o fator do mercado. O mercado irá, em última análise determinar o quanto vale algo.

E é isto que está faltando nesta consideração: o lado do mercado. E aí temos a questão: O que determina o valor de uma mercadoria no lado do mercado?

Ah, isto sim é uma pergunta boa! Afinal traz alguns pontos interessantes

a) Existe a determinação de preço do lado da oferta
b) Existe a determinação de preço do lado da demanda

Os fatores que uma e outra utilizam na composição de preços é diferente. Do lado da oferta temos

- Matéria prima
- Mão de obra
- Maquinário
- Obrigações de empréstimos
- Recompensa do empresário

Do lado da demanda temos:

- Disponibilidade de recursos para compra
- Necessidade/Interesse na compra
- O que mais?

Eu diria que a compra também seria determinada por um fator que seria o custo que o comprador teria em manufaturar a mercadoria mais um fator de conforto. Mas a verdade é que ninguém realmente compra algo com isto em mente. Se o valor da compra é exorbitante, então pode ser que alguém use esta lógica para chegar a um preço aproximado. Mas a rigor não é assim que funciona.

Como funciona então?

A coisa é mais complicada

Depois de pensar sobre mais sobre Marx, cheguei a conclusão que parte do que eu havia pensado no post anterior está no mínimo incorreto.

Para melhorar o conceito, temos que imaginar de novo o sistema fechado, no qual a única fonte são os recursos naturais que servem de entrada. No mais os outros elementos são o organizador de tudo e os trabalhadores.

O sistema deve fornecer aos trabalhadores a mercadoria. Esta mercadoria será feita através do uso de matérias primas e do trabalho de cada um. E ao final, os trabalhadores devem poder comprar a mercadoria.

A priori, isto implica que para que o sistema seja mais eficiente que um trabalhador sozinho, então o custo final deste sistema deve ser pelo menos igual ao do trabalhador extraindo a matéria prima.

Mais ainda, o sistema deve ser mais eficiente em termos do trabalho realizado ou então não teria sentido.

Claramente, um sistema com maior produtividade pode sustentar estas premissas.

X/N+T - custo para um trabalhador produzir a mercadoria

a1*X/N +a2*T +E - custo por trabalhador para produzir a mercadoria.

Se a1*X/N+a2*T+E < X/N+T

Ou seja, a equação anterior: E< (1-a1)*X/N+(1-a2)*T

Quanto a um limite mínimo, ele realmente não existe. Isto porque ao contrário do meu post anterior, o preço de venda pode ser menor que o custo do trabalhador teria para realizar o trabalho.

Mais ainda: pode estar associado um custo adicional pelo conforto de não ter que fazer o trabalho.

Esse assunto é complexo

Mais questões sobre o mercado

Pelo que é possível ver o mercado é mais ou menos contido. A única coisa que entra é a matéria prima.

É o que meus amigos chamam da famosa "conta de padeiro"

A matéria prima entra

Se uma pessoa apenas realiza o trabalho terá agregado um valor T

Se existe um sistema com finalidade de aumentar a produtividade, então um grupo de pessoas irão gastar um tempo médio T' que é menor que T para agregar o mesmo valor.

Em um sistema de trocas, isto significa que a mercadoria (Gizmo) ficará mais barata do que no caso anterior. E mesmo em um sistema com trocas, a chance de ser vendida a um valor menor que T e próximo a T' é maior que no caso contrário.

Mas o dinheiro que o trabalhador ganha é exatamente o que compõe o fundo que ele gasta. E este é o problema. Se este dinheiro só advém do salário - então como o sistema pode funcionar?

O sistema se baseia na contínua agregação de valor. O empresário compra a matéria prima por um preço X esperando fazer N unidades.

O preço de venda de cada unidade será a1*X/N+ a2*T +E - aonde T é o trabalho necessário para fazer uma unidade, a1 é um redutor devido ao volume da compra de matéria prima, a2 é um redutor devido a produtividade e E é o que o empresário tira do negócio.

Para que isto seja economicamente viável temos que:

X/N+T>a1*X/N+a2*T+E

ou

E<(1-a1)*X/N+(1-a2)*T Isto quer dizer que vale mais a pena comprar do empresário do que fazer você mesmo. Além disto no total das N unidades, teremos um custo total: a2*T*N. Se tivermos K empregados, então o pagamento para cada um será: T*N/K - se o pagamento é realizado considerando o trabalho realizado individualmente. Assim, se desconsiderarmos o lucro do empresário, cada trabalhador poderá comprar: (T*N/K)/(a1*X/N+a2*T)=N/K*1/(a1*X/(N*T)+a2) De cada é possível ver que quanto maior a produtividade (N/K), maior será a quantidade de produtos que ele poderia comprar. Mais ainda: pelas premissas, o processo agrega valor portanto (X/N)/T <> K.

Portanto, se todos estão empregados então vai sobrar mercadoria

E pela mesma lógica, só não sobra mercadoria se nem todos estiverem empregados.

Do lado do empresário temos outro problema:

Ele tem o custo da matéria prima: a1*X
Ele tem o custo da mão de obra: N*T

E*N>a1*X+N*T, do contrário ele trabalha de graça.

Assim E>a1*X/N +T

Portanto:
a1*X/N<>0 ou E>T se

a2*T<(1-a1)*X/N

ou

T<(1-a1)/a2*X/N

Portanto (1-a1)/a2>1 para que a suposição funcione

Logo a1+a2<1

De forma similar

a2/(1-a1)<(X/N*T)

Esta equação amarra os redutores a1 e a2 aos custos de material e mão de obra

Mais sobre divisão do trabalho

Vamos supor que para fazer um Gizmo são necessários 1000 passos (que podem ser movimentos ou o escambau).

Uma pessoa leva um tempo T para fazer estes 1000 passos.

No entanto estes 1000 passos podem ser quebrados em 10 etapas sequenciais cada uma com 1 pessoa fazendo 100 passos.

Assim cada uma das 10 irão gastar:

1000 passos - T
100 passos - X

Logo X=T/10

Logo em T teremos 10 Gizmos isto ao custo de 10*T - ou seja 10 pessoas

E de onde vem a produtividade? De duas maneiras:

Na primeira maneira, devido ao uso de equipamentos e treinamento, cada pessoa pode fazer o equivalente a 150 passos no tempo que levaria para fazer 100.

Assim teremos 15 Gizmos ao custo de 10*T - ou seja 10 pessoas

Na segunda forma, realizam-se etapas sem vínculo consecutivo em paralelo. Por exemplo dos 1000 passos, vamos supor que 200 podem ser feitos em paralelo. Assinalando 2 pessoas para fazer estes 200, teremos:

8 pessoas fazem 800 passos em 8*T e as outras duas fazem em os 200 passos em T (devido ao parelelismo).

Portanto temos no final 10 Gizmos ao custo de 9*T - ou seja o custo efetivo de 9 pessoas.

Combinando os dois processos pode-se ter um ganho considerável no custo final. E isto, mesmo deduzindo os custos e pagamento do empresário permite que no final os consumidores (que são os próprios trabalhadores tenham a capacidade de consumir a custo mais baixo).

Mas uma coisa que fica claro neste processo é que efetivamente se faz mais do que o mercado consumidor deseja.

É possível fazer menos? Sim, com o uso judicioso do tempo e tamanho do mercado consumidor é possível fazer menos. Mas este tipo de planejamento é bastante difícil de ser realizado.

Ao fazermos 15 Gizmos com 10 pessoas, isto pode ser reduzido - para um mercado consumidor de 10 pessoas a 7 pessoas trabalhando e produzindo 10 Gizmos ao custo individual de 0.8*T

Temos que o mercado está abastecido, mas se os 3 trabalhadores não tiverem recursos não poderão comprar os Gizmos.

Então aparentemente, este sistema demanda que exista uma reserva de trabalhadores fora de operação.

Mas isto a gente entra em detalhes depois

Primeira Publicação de 2009

Para começar o ano novo com o pé direito, vou investigar um problema que sempre me atormentou: como funciona uma economia fechada?

A economia é fechada, pois na realidade todas as economias são fechadas. Não existem economias abertas no sentido de receber algo do além.

Nesta economia temos um fluxo contínuo de matéria prima: Mp

Neste economia temos o trabalhador que transforma a materia prima em produto P. Esta transformação se dá através do trabalho.

Temos a pessoa empresário E que paga pelo trabalho T do trabalhador e possue no final o produto P. Mais ainda o trabalhador recebe T por seu trabalho realizado.

Depois o trabalhador irá gastar parte do que recebeu na compra do produto P.

Então sem a pessoa E, temos

Mp se torna P (trabalho realizado T)

Com a presença do empresário temos que

MP se torna P
O trabalhador ganha T
O trabalhador gasta alpha*T na compra.

Como (1-alpha)*T>0 então temos que alpha < 1

E isto é um pepino. Pois nesta economia o empresário pode NO MÁXIMO fornecer dinheiro para o trabalhador na quantidade igual ao trabalho realizado pelo trabalhador

No entanto, vamos dizer que:

MP se torna beta*P
O trabalhador ganha beta*T
O trabalhador gasta alpha*T na compra.

Como (beta-alpha)*T>0 então temos beta > alpha

Temos que a produtividade beta é a chave para o ganho de escala e ganho final no processo.

Vamos a um exemplo:

1 Trabalhador - 1 Gizmo - 1 moeda
10 Trabalhadores - 12 Gizmos -10 moedas + 1 moeda para o empresário = 11 moedas
100 Trabalhadores - 180 Gizmos - 100 moedas + 10 moedas para o empresário = 110 moedas

Todos os trabalhadores estão ganhando rigorosamente a mesma coisa (exceto o empresário). No entanto a taxa de conversão é:

1 Trabalhador - 1 Gizmo é 1 moeda
10 Trabalhadores 1 Gizmo é 0.92 moedas
100 Trabalhadores 1 Gizmo é 0.61 moedas

Note que no primeiro caso, o máximo que um trabalhador pode comprar com seu trabalho é 1 Gizmo

Ja nos outros casos, o número de Gizmos que um trabalhador pode comprar aumenta com a produtividade.

O que se pode ver como chave nesta premissa é que:
- O custo dos trabalhadores é proporcional ao número de trabalhadores
- O números de bens fabricados é uma função não linear do número de trabalhadores
*Para que funcione, esta função não linear deve ser monotonicamente crescente.

Outro ponto chave é que na realidade o valor excedente é criado a partir do aumento de produtividade dado pelo aumento no número de trabalhadores.

Isto pode parecer wishfull thinking, mas não é. Um trabalho que tem várias etapas, pode ter ganhos significativos de produtividade quando é transformado de um trabalho em série para um trabalho em paralelo.

E este é o princípio por trás de linhas de montagem

Bem fico por aqui, por hoje