Acho que devem ser poucos os leitores que nunca ouviram falar de
Bhaskara. Bem, ou menos da sua
fórmula.
Então, supondo que a maioria tenha pelo menos algum conhecimento acerca da fórmula, este post vai explicar para que serve a fórmula. Não, não é
um artigo retirado do wikipedia, mas uma tentativa de elucidar uma das grandes questões no ensino de equações de segundo grau. Mais especificamente a questão:
"
Mas para que porra serve isto?"
Bom, a verdade é que não posso afirmar com certeza que a origem do problema é o que irei relatar. Mas acredito que há alguma relação entre o que vou mostrar e como a questão surgiu.
Antes de mais nada temos que entender o conceito de um problema a ser resolvido. Naturalmente, a idéia da
equação quadrática está relacionada a questão do cálculo de área (um problema muito relevante e de ramificações dispendiosas, como qualquer um que comprou um imóvel pode atestar). Vamos partir para o problema de calcular uma área de um quadrado.
- Se eu tenho um terreno com 5 metros de lado por 5 metros de lado, qual é a área deste terreno? Bem, a solução é o cálculo da área de um quadrado. Mais especificamente 5 * 5 = 25 metros quadrados. Neste caso temos uma função do tipo y = x^2 (aonde x é o lado do quadrado e y é a área deste quadrado).
- O problema inverso neste caso é: Se tenho um terreno de 25 metros quadrados, qual é o lado deste terreno sabendo que o mesmo forma um quadrado? Bem, a priori a informação que o terreno tem um formato de um quadrado permite saber que x = sqrt (y), ou seja 5 metros.
Mas vamos a um problema um pouco mais complicado.
- Se tenho um terreno retangular com 5 metros de lado por 8 metros de lado, qual é a área deste terreno? Neste caso, temos a calcular a área do retângulo. Mais especificamente 5 * 8 = 40 metros quadrados. Nesta caso temos uma função do tipo y = x1*x2 (aonde x1 é um dos lados e x2 é o lado adjacente).
- Se formos tentar resolver o problema inverso, vamos notar que não temos informações suficientes para encontrar a solução: Quais são os lados do retângulo de área 40 metros quadrados? Sabemos que é um retângulo, então x1 é diferente de x2, mas apenas a informação de quanto é a área não é suficiente. Precisamos de mais informação.
E aí a coisa começa a ficar interessante.
Vamos dizer que além da informação da área, também estamos fornecendo a informação do perímetro (
P) do retângulo. Ora, o perímetro é
2*x1+2*x2. Se eu informar que o perímetro é 26 então saberemos que
x1+x2 = 13 quadrados. Ao sabermos que a área é 40 metros quadrados então sabemos que
x1*x2 = 40.
O que temos de resolver é:
x1*x2= 40
x1+x2=13.
Como resolver isto? Bem vamos substituir
x1=13-x2 na primeira equação. Fazendo isto temos:
x1*x2=40
(13-x2)*x2=40
13*x2-x2^2=40
rearranjando temos:
x2^2-13*x2+40=0
Vale a pena notar que se ao invés de
x1=13-x2, utilizássemos
x2=13-x1, nós chegaríamos em uma equação idêntica para
x1, ou seja
x1*x2=40
x1*(13-x1)=40
13*x1=x1^2=40
x1^2-13*x1+40=0
Então a equação para
x1 é igual a equação para
x2. Neste ponto podemos simplesmente chamar
x1 e
x2 de uma variável genérica x. O que transforma a equação em:
x^2-13*x+40=0
Muito bem, e de onde vem Bhaskara? Bom, vem de uma idéia chamada de
completar o quadrado. O conceito é simples: Vamos dizer que tenhamos a equação
y=(x-4)^2,
Esta mesma equação pode ser reescrita como:
y=(x-4)^2 = x^2-2*4*x+4*4 = x^2-8*x+16
Note que o o 4 foi multiplicado por dois. Então vamos reescrever a equação anterior da seguinte forma:
x^2-2*13/2*x+40=0
Para que a equação fosse um quadrado perfeito teríamos de ter:
x^2-2*13/2*x+(13/2)^2=0
Então o que fazemos é somar de ambos os lados o que falta para termos o quadrado perfeito
(13/2)^2-40.
Assim, a equação se transforma em:
x^2-2*13/2*x+40+(13/2)^2-40=(13/2)^2-40
O resultado é:
x^2-2*13/2*x+(13/2)^2=(13/2)^2-40
A parte da direita é um quadrado perfeito:
(x-13/2)^2 = (13/2)^2-40 = 9/4
E isto nós sabemos resolver. Temos duas possíveis soluções:
(x-13/2) = 3/2 e (x-13/2)=-3/2
A primeira possível solução é
x=8 e a segundo é
x = 5 (como era de esperar). O conceito genérico provavelmente fica mais claro com este vídeo do yotube.
Note que para resolver este problema foram necessárias duas informações (a área do terreno retangular e o perímetro do terreno retangular) e o uso do conceito de completar o quadrado perfeito.
Vamos ao caso genérico.
a*x^2+b*x+c=0
Primeiro dividimos por a:
x^2+b/a*x+c/a=0
Depois reescrevemos a equação para prepararmos a montagem do quadrado perfeito:
x^2+2*b/(2*a)*x+c/a=0
Depois completamos o quadrado:
x^2+2*b/(2*a)*x+c/a+(b/2*a)^2-c/a=(b/(2*a))^2-c/a
Depois reescrevemos:
x^2+2*b/(2*a)*x+(b/2*a)^2=(b/(2*a))^2-c/a
O quadrado perfeito é razoavelmente claro:
(x+b/(2*a))^2=(b/(2*a))^2-c/a = (b^2-4*a*c)/(4*a^2)
Tirando a raiz temos:
(x+b/(2*a))=sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a) e (x-b/(2*a)=-sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a)
O que pode ser simplificado para:
x=-b/(2*a)+sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a) e x=-b/(2*a)-sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a)
Então daí vem a fórmula de Bhaskara: quando procuramos encontrar os lados de um terreno retangular dada a sua área (
A) e o seu perímetro (
P).
Naturalmente...
Isto não é a única forma de relacionar uma área (
x^2) com outras informações a respeito do retângulo. Podemos também relacionar a área e a diagonal.
x1*x2=A
x1^2+x2^2 = d^2
Assim montamos as equações:
x1^2*x^2=A^2
x1^2+x2^2=d^2
Chamando
x1^2 de
y1 e
x2^2 de
y2, chegamos a mesma fórmula de Bhaskara. Querem ver? Vamos dizer que a área é 12 e a diagonal é 5 (significa que os lados são 3 e 4). Então temos:
x1*x2=12
x1^2+x2^2=25
reescrevendo:
y1*y2=144
y1+y2=25
Isto resulta na equação
y^2-25*y+144=0 que resulta nas raízes
y1=16 e
y2 = 9. Isto significa que
x1=4 e
x2=3, com esperado.
Mas isso é apenas a superfície da riqueza que as equações quadráticas tem. Se restringirmos o domínio da equação podemos prescindir alguma informação. Um exemplo: vamos estabelecer que
x1 e
x2 são inteiros.
Neste caso, ao informarmos a área estaremos na realidade mudando o problema de calcular as raízes de uma equação quadrática para encontrarmos os fatores do problema. Um exemplo:
x1*x2=21
x1 e
x2 são inteiros. As soluções são {1,21} e {3,7}. Se eu disser que
x1+x2 = 22, então o conjunto de soluções fica definido.
Mas há uma outra forma mais interessante de definir o conjunto de soluções
Se
x1 e
x2 não fossem apenas inteiros, mas também primos, a solução seria única {3,7}. Descobrir soluções com estas condições (
x1 e
x2 são primos) é
um problema fundamental na matemática.
