Um ponto que eu mesmo vivo esquecendo é que a média de uma distribuição divide a mesma em duas partes iguais.
Assim, se eu escolher um número de uma distribuição qualquer arbitrariamente, então há uma chance de 50% deste número ser maior que a média e uma chance de 50% deste número ser menor que a média. Bem, estritamente falando esta descrição é a da
mediana e não da média - mas vamos considerar as duas iguais por aqui por enquanto.
O leitor pode pensar: "
Duh!". Mas há mais informações que podemos obter aqui. Se tirarmos dois números X1 e X2 podemos considerar a média M e dizer:
p(X1 menor que M) = p(X1 maior que M) = 1/2
p(X2 menor que M) = p(X2 maior que M) = 1/2
Para simplificar vamos considerar X1 menor queX2 (pode ser ao contrário - não importa).Ao combinamos as duas alternativas temos algo interessante (se não há correlação entre os eventos):
p(X1 menor que M e X2 menor que M) = p(X1 menor que M)*p(X2 menor que M) = 1/4
p(X1 maior que M e X2 maior que M) = p(X1 maior que M)*p(X2 maior que M) = 1/4
p(X1 menor que M menor que X2) = 1/2
Isto pode ser dito da seguinte forma: chance da média estar entre X1 e X2 é 50% a chance da média estar fora disso é 50%. Mas a chance de ser maior que X2 é 25% e a chance de ser menor que X1 é 25%.
Como isso é possível? Note que p(X1 maior que M) (probabilidade de X1 ser maior que é média) é exatamente a mesma coisa que p(M menor que X1) (probabilidade da média ser menor que X1). E que p(X2 maior que M) (probabilidade de X2 ser maior que a média) é exatamente a mesma coisa que p(M menor que X2) (probabilidade da média ser menor que X2).
Então o que é p(X1 maior que M e X2 maior que M)? É a mesma coisa que p(M menor que X1 e M menor que X2). E pela independência (na realidade, pela não correlação) temos que isso é igual a p(M menor que X1)*p(M menor que X2) = p(X1 maior que M)*p(X2 maior que M) = 1/4 (ou seja a probabilidade que a média seja menor que X1 e menor que X2). Do outro lado temos p(M maior que X1)*p(M maior que X2) = p(X1 menor que M)*p(X2 menor que M) = 1/4 (ou seja a probabilidade que a média seja maior que X e maior que X2).
Assim, o que sobra é a probabilidade que a média esteja entre os dois valores sorteados - que é 50%.
A coisa começa a ficar interessante quando aumentamos a quantidade de números sorteados. Ao chegarmos a 10 temos 511 em 512 chances que a média esteja entre o maior e o menor número sorteados. Isso corresponde a 99.8% de chance que a média esteja entre o maior valor sorteado e o menor valor sorteado. Isso porque estamos calculando a probabilidade que a média não satisfaça uma das duas situações:
- Probabilidade da média ser menor que o menor valor sorteado = probabilidade da média ser menor que todos os valores sorteados.
- Probabilidade da média ser maior que o maior valor sorteado = probabilidade da média ser maior que todos os valores sorteados.
E isto somado a probabilidade que a média esteja entre o menor e o maior valor sorteado cobre todos os eventos possíveis (ou seja dá 1). Portanto para N sorteios:
p(Xmin menor qu eM menor que Xmax) = 1-2/2^N = 1- 1/(2)^(N-1) = 0.98 (para N=7)
E qual é o interesse disso? Bom, podemos fazer coisas mais curiosas se encontrarmos os valores mais altos e mais baixos e fazer alguns cálculos com eles. Por exemplo com relação ao segundo menor valor Xmin2 e o segundo maior valor Xmax2 temos:
p(Xmin menor que M menor que Xmax) = 1 - 2/2^N-2*N/2^N = 1- (N+1)/(2)^(N-1) = 0.88 (para N=7)
E assim por diante. Então pense nisso: ao se obter uma sequência de dados aleatórios da mesma distribuição podemos estimar aonde está a média olhando o máximo e o mínimo - com razoável grau de certeza!
![\begin{alignat}{2}
T & = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right) \\
& = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right].
\end{alignat}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tcBa1iGreUresLAW9_LcPNt47NU_JilXz_fv2Jdd4N4UekBvpm01J0BWHI-36S6a6JhUyNhBHmAY6BrBJrB1z1zGoHIBe7O_-C_evW6zUxvR-inivNzgi1_jQsP63y71fRfGuVCK7fufLUVrKx=s0-d)
