Antes de entrarmos no efeito da vacina vamos ver mais um
exemplo do caso de duas infecções. Os parâmetros do modelo são R1=1.2, R2=2.4 e
T0=10. Temos os resultados:
|
Curvas totais
com de R1= 1.2, R2 =2.4
e T0=10. |
|
|
Curvas de
infectados com de R1= 1.2, R2 =2.4
e T0=10. |
|
Aqui vemos que há uma mudança na taxa de aumento dos
recuperados. Como no caso real, o número de óbitos é proporcional ao número de
casos antes da vacinação, podemos ver que a hipótese de várias variantes se
encaixa na forma que a infecção se alastrou.
|
Infecção da
COVID. A vacina começou a ser aplicada na semana |
|
|
Modelo SIR
com duas ondas de infecção |
|
Na linha de tempo, a vacinação começou em janeiro de 2021
(mais ou menos na semana 44) e em setembro de 2021 cerca de 80-90% da população
tinha sido ao menos parcialmente vacinada (mais ou menos na semana 77).
Dependendo da vacina, o efeito demorava alguns meses e podia demandar diversas
doses. No final podemos estimar algo entre 3 e 9 meses para o efeito completo.
Isso corresponde a algo entre 12 e 36 semanas, o que na cronologia significa
que o efeito total começava a ser visto entre 56 e 80 semanas. Mas como modelar
isso?
Bem, o efeito da vacina de modo simplificado é diminuir a
quantidade de susceptíveis. Caso haja mais variantes (como é o caso da COVID)
temos que o efeito pode se estender as outras variantes ou não. Se não se
estender a infecção pode ter sua gravidade diminuída ou inalterada. Do ponto de
vista da diminuição da quantidade de susceptíveis o modelo matemático é
simples:
Onde 
é a fração de pessoas imunizadas em um
intervalo de tempo (
). Aqui a imunização é
instantânea, mas se for o caso também pode ser modelada por atrasos. Assim uma
aplicação que só passa a fazer efeito em seis meses pode ser modelada fazendo a
equação começar a fazer efeito apenas seis meses após o início da vacinação. Ou
seja, a solução é análoga ao caso de várias ondas de infecção com atraso.
A modelagem matemática usa dois conjuntos
de equações, sendo um até o início da vacinação:
E outro com modificação apenas na
primeira equação, após o efeito da vacinação entrar no cálculo:
Este é o modelo de
apenas uma infecção, mas podemos ver que o efeito é a diminuição da classe dos
susceptíveis após a introdução da vacina.
|
Curvas sem
vacinação com de R0= 1.5 e T0=10. |
|
|
Curvas com
vacinação com de R0= 1.5 e T0=10. |
|
O efeito é que o número final de infectados será menor (0.4743
contra 0.5838), e será menor o quanto antes a vacina for introduzida.
Naturalmente, o caso mais real não elimina o efeito da infecção, mas apenas diminui
a severidade dos efeitos. Mas o resultado final é similar: menos óbitos.
Portanto, isso fará apenas que os picos subsequentes sejam menores. Nos dados
reais temos os seguintes gráficos de casos e óbitos.
|
Casos por
semana |
|
|
Óbitos por
semana |
|
|
Casos e
óbitos em uma escala normalizada para cada um |
|
O que vemos é que os picos de óbitos ficam bem menores comparados
com os picos de casos, a partir da semana 90 aproximadamente. E daí para frente
ficam cada vez menores.
O que se pode dizer a respeito disso é que mesmo que a
vacina não tenha diminuído o número de casos imediatamente, certamente teve um
efeito na diminuição dos óbitos.
Muito bem, agora que vimos que os picos vem de múltiplas
ondas de infecção e que a introdução da vacina tem um efeito na diminuição dos
efeitos da infecção (em especial no número final de óbitos), temos de fazer a
pergunta mais importante: como foi o desempenho dos países na administração da
pandemia de COVID 19?
Bem, isso é assunto para outro post.
