Bem, no último post eu usei a equação:
Para representar o crescimento da empresa
em um mercado de tamanho 
. Mas de onde vem essa
equação? Bem, temos claramente uma equação diferencial representando a evolução
no tempo. A ideia vem de dinâmica de populações na forma geral:
Usando a representação de McLaurin:
No caso vamos ver alguns dos termos:
Quando consideramos somente o primeiro
termo temos um crescimento constante, que é linear ao longo do tempo. Em termos
matemáticos:
A solução é simplesmente:
Esse não é o crescimento observado em
ecossistemas naturais. Então na modelagem geralmente consideramos:
O segundo termos é mais usado, que
resulta em um crescimento exponencial:
A solução é:
Este é o modelo geralmente utilizado para
bactérias em um meio que permita crescimento infinito. Já se queremos modelar
um crescimento com limitações usamos também o terceiro termo:
Assim chegamos na equação:
Que é a equação logística. Bem, e qual é
a lógica por trás da equação logística? Bem, em 
temos que a taxa de crescimento é zero, o que
significa que a população cresce somente até um máximo de 
. Você pode perguntar:
“Mas e se 
? Aí a taxa é negativa
e a população decresce até equilibrar novamente com . Isso está de acordo
com o que é observado em casos reais, e é a equação mais simples que tem
resultados compatíveis com o medido em casos reais.
Isso não impede que possamos usar termos
adicionais, desde que compatíveis com a equação:
Como queremos que a derivada seja zero em
, podemos fazer:
Com isso temos um grau adicional de
liberdade na equação, pois fazendo k=0 temos a equação logística original. Isso
pode ser útil para modelar crescimentos diferentes.
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Modelos de crescimento limitado |
A versão discreta da equação logística
tem uma outra característica que tem potencial de complicar as coisas. Vamos encontrar
a versão discreta da equação logística:
Podemos reescrever como:
Vamos fazer a mudança de variáveis:
Substituindo temos:
Simplificando:
O famoso mapeamento discreto estudado por
Eduard Lorenz para mostrar a existência de soluções caóticas em sistemas dinâmicos
é:
A equação se comporta normalmente até r=3
e depois passa a ter comportamento mais complicado. Isso quer dizer que há um
mecanismo dentro da equação que descreve a inserção da empresa no mercado que
indica a possibilidade de soluções caóticas.
Mas no caso que estamos interessados
gostaríamos de entender o que acontece quando temos diversas empresas
competindo. Isso é assunto para outro post.
