Mais ou Menos Médicos

A polêmica dos médicos cubanos está a todo vapor.

Da minha parte quero deixar alguns pontos claros:

• Realmente há traços de corporativismo nas atitudes de certas sociedades médicas. Suspeito que há algo a ver com reserva de mercado (coisa que os engenheiros não tem, mas os advogados sim).
• Realmente o governo meteu os pés pelas mãos nesta história do governo (basta olhar o que ele disse sobre o assunto - especialmente a AGU sobre a condição que os médicos estariam submetidos).
• Há falácias de todos os lados: ad-hominem, espantalho, genética e outras
• Há uma campanha franca de demonização da classe médica por parte dos interessados no programa mais médicos.
• Os médicos cubanos podem fazer bem para população, mas isso não é de modo algum uma certeza (nem da magnitude deste efeito).
• Os cubanos estarão em uma situação de trabalho análogo à escravidão

E aqui fica um lembrete para todos que decidirem dar seu pitaco a respeito do assunto: Você é a favor de trabalho escravo? Ou somente em determinadas circunstâncias (loaded question fallacy)? Como você se posiciona nisto? E muito cuidado ao dissertar sobre os males do corporativismo, pois se olhar com muito cuidado é capaz de ver que já fez coisa similar (tu quoque?).

Preste atenção no que está sendo discutido no assunto, caro leitor... Você notará diversas pessoas que definitivamente não prestam... (Há um certo blogueiro veementemente contrário ao trabalho escravo que parece que reviu seus conceitos - para este caso específico).

Mas não fique triste, há vergonha para espalhar para todos os lados...

Camelos

Seguindo o precedente estabelecido pelo post anterior vamos a outro problema matemático famoso: o dos 35 camelos

OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios, gritavam possessos, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos. A cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha, se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o “homem que calculava”. — Encarregar-me-ei de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal, que em boa hora aqui nos trouxe.
Neste ponto, procurei intervir na questão:
— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?
— Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! — replicou-me, em voz baixa, Beremiz. — Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.
— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três irmãos — fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora, como vêem, em número de 36.
E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deves receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, ou seja, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse, por fim, ao mais moço:
— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, devias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado.
Numa voz pausada e clara, concluiu:
— Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir — partilha em que todos os três saíram lucrando — couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um total de 34 camelos. Dos 36 camelos sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao “bagdali” meu amigo e companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança.
— Sois inteligente, ó estrangeiro! — confessou, com admiração e respeito, o mais velho dos três irmãos. — Aceitamos a vossa partilha, na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade.
E o astucioso Beremiz — o “homem que calculava” — tomou logo posse de um dos mais belos camelos do grupo, e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
— Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim.
E continuamos a nossa jornada para Bagdá.

Muito bem, o que aconteceu aqui? Que mágica foi essa? Ah, não há mágica nenhuma: a partilha é que não "cobria" todos os animais.

Vamos dizer que tivéssemos X camelos. O irmão mais velho receberia X/2, o do meio X/3 e o mais novo X/9.

Para simplificar vamos dizer que X fosse igual a 18. Assim o irmão mais velho receberia 9, o do meio 6 e o mais novo 2. Note que 9+6+2 é 17 e não 18. Isto significa que sobraria um camelo de qualquer modo. Na verdade X/2+X/3+X/9 = 34/36 = 17*X/18.

Ora se ao invés de 18 camelos tivéssemos 36 camelos (X=36) então X/2+X/3+X/9 = 34. Ou seja sobrariam 2 camelos. E o irmão mais velho receberia 18, o do meio 12 e o mais novo 4. O que fazer com os dois camelos? Ora eles não fariam parte da partilha de qualquer modo...

Já se a partilha fosse X/2, X/3 e X/6, então o matemático ficaria sem seu camelo, pois neste caso o irmão mais velho receberia 18, o do meio 12 e o mais novo 6. E 18+12+6 é 36.

Conta de Bar

Faz tempo que estou querendo colocar este post aqui (com sua solução):

Três amigos foram jantar em um restaurante e pediram uma pizza de R$22,00 mais três refrigerantes de R$1,00 cada. Na hora de pagar, cada um entregou para o garçom 10 reais para pagar a conta de R$25,00. O garçom devolveu 5 reais de troco em notas de R$1,00. 

Ao pegar o troco do garçom, os amigos decidiram dar R$2,00 de gorjeta para a divisão entre eles ficar inteira de 1 real para cada. 

Oh, como estes R$ 2,00 fazem a vida ficar complicada!!!

Se cada um deu R$10,00 (R$30,00 ao total), recebeu troco de R$1,00, significa que pagaram juntos R$27,00 mais os R$2,00 da gorjeta, resultando R$29,00. Onde está esse 1 real que falta?

O que está errado? Vamos a matemática:

• X - o que cada um pagou
• C - Conta
• T - Troco total

Temos 3*X -C = T, ou 3*10- 25 = 5 - ou seja: Cada um pagou R$ 10,00 e com a conta de R$ 25,00 tivemos um troco total de R$ 5,00
Ok até agora, não?

Mas vamos complicando

• GG - gorgeta do garçom
• TI - Troco individual

GG+3*TI = T ou 2+3*1 = 5 - ou seja: dos R$ 5,00, o garçom pegou R$ 2,00 e devolveu R$ 3,00 (R$ 1,00 para cada um).

Juntando as duas expressões temos:

3*X-C = GG+3*TI

Reescrevendo: 3*(X-TI) = C+GG, ou 3*(10-1) = 25+ 2 - ou seja cada um pagou, efetivamente R$ 9,00, e dos R$ 27,00 totais, R$ 25,00 foi para o dono do bar e R$ 2,00 para o garçom.

• Bar: C+GG  - Conta + Garçom = R$ 25,00 + R$ 2,00 = R$ 27,00
• Clientes: 3*(X-TI) - o que cada um efetivamente pagou = R$ 9,00+ R$ 9,00 + R$ 9,00 = R$ 27,00

Percebeu aonde esta o erro do enunciado? "Se cada um deu R$10,00 (R$30,00 ao total), recebeu troco de R$1,00, significa que pagaram juntos R$27,00 mais os R$2,00 da gorjeta"

O erro é o seguinte: Os R$ 2,00 de gorjeta estão incluídos nos R$ 9,00 e não fora dele. Cada um pagou R$ 9,00, totalizando R$ 27,00. Destes R$ 27,00, R$ 25,00 foram para o dono do bar e R$ 2,00 foram para o garçom.

Em termos matemáticos a expressão:
Se cada um deu R$10,00 (R$30,00 ao total), recebeu troco de R$1,00, significa que pagaram juntos R$27,00 mais os R$2,00 da gorjeta quer dizer 3*(X-TI)+GG e não 3*(X-TI)-GG (que é a equação original e correta!).

O que isto quer dizer? Que somamos R$ 2,00 ao invés de subtrairmos R$ 2,00. Não tem absolutamente nada a ver com dízima periódica, descontinuidade da função e outras "explicações" que rolam por aí.

Soul Town

Finalmente encontrei uma música que vinha procurando há tempos: Soul Town

Música de 1969
Aqui só o mp3: The Motherhood - Soul Town

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O Dr. Fox e os Farsantes

Este post é graças ao texto de encontrei do Hélio Schartzman em que ele descreve o efeito Dr. Fox:

"O importante é ter conteúdo. Essa é outra balela. Aparências são muito mais importantes. Em meados dos anos 70, psicólogos da Universidade da Califórnia criaram o Dr. Myron L. Fox. Ele era uma fraude. Não havia nenhum Dr. Fox e seu currículo foi completamente inventado. Para representá-lo, contrataram um ator charmoso que deu uma aula sobre "teoria dos jogos matemática aplicada à educação física". A aula não passava de um amontoado de bobagens sem sentido, repleta de frases de duplo sentido, contradições e neologismos. Mas o ator era bom e dizia essas coisas com clareza, confiança e autoridade.

A plateia, composta por psiquiatras, psicólogos e assistentes sociais, adorou. Na hora de avaliá-lo, deu-lhe notas positivas, incluindo 100% de aprovação no quesito "estímulo ao pensamento".

Vídeos da aula do Dr. Fox foram exibidos a outros públicos, incluindo um formado por professores e administradores de cursos de pós-graduação. E o Dr. Fox recebeu excelentes notas de todas as audiências."

O filme original está disponível e uma versão mais completa pode ser encontrada aqui.

Eu tenho um outro nome para o efeito: a hegemonia dos farsantes. E aqui eu tenho que deixar algo claro: não foi atuando como professor que comecei a perceber que os farsantes estão presentes em todos os locais. Mas foi aprendendo a argumentar no falecido orkut e no meu blog.

O mais assustador é o seguinte: nas ciências "exatas" ainda temos como identificar parte das bobagens que estes farsantes divulgam (apesar de não ser exatamente fácil). Mas isso é porque temos a realidade como forma de testarmos teorias. E no caso em que não temos isso?

Por que parei de postar sobre os absurdos do cotidiano?

Bem, a resposta simples é: se eu postasse, então certamente ofenderia a enorme maioria dos "postentantes".

Como e por que? Porque eu francamente cheguei em um ponto que não estou mais aguentando a mentirada dos reclamantes. Temos uma tendência, que suponho ser cultural, de "nos fazermos sempre de vítimas". Do que? Ora da mídia, da sociedade, do sistema, do governo, dos incas venusianos - do que quer que possa ser usado como desculpa para nossa incapacidade de resolver nossos problemas (acho que isto é só um dos lados de termos um estado pai e mãe - podem observar se isto não é comum em países latinos).

Eles estão sempre por trás de tudo!

Eu li recentemente sobre um protesto de estudantes sobre a questão dos apartamentos da moradia estudantil e logo vi um camarada sorridente que cujas razões para protestar tem pouco a ver com o caso - mas com suas convicções políticas (suspeito que a razão do sorriso é porque ele encontrou um excelente motivo para reclamar culpando alguém ou alguma coisa pelos problemas reais e imaginários).

Waldo também está nessa foto e na da reportagem. Mas há mais gente em comum também...

Depois tem um post muito interessante de um aluno no grupo da UnB no Facebook. O deprimente é ler os comentários. Assim como um teste de Roscharch, o individuo revela mais de si mesmo quanto mais analisa a tirinha (que está mostrada abaixo por sinal).

Peço que o leitor note as três cores: vermelho, amarelo e verde - como cores dos sinais; como perigo, atenção e prossiga; como três possíveis cenários: o pior, o intermediário e o melhor.

E o que isso me traz? Me traz um imenso desânimo de apontar as falácias. Isso porque as mesmas falácias estão presentes nos protestos em todos os locais. E no fundo, no fundo: resolver o problema que é bom...

Mais de Trânsito

Hoje contei quantos semáforos que haviam entre minha casa e o trabalho. Não eram seis (6), mas quinze (15)! E com mais atenção na minha velocidade, notei que a mesma estava sempre entre 50 km/h e 60 km/h.

Então os cálculos mudaram:

• 0.003051757812% de chance de um atraso de 0 minutos
• 0.04577636719% de chance de um atraso de 1 minuto
• 0.3204345702% de chance de um atraso de 2 minutos
• 1.388549805% de chance de um atraso de 3 minutos
• 4.165649414% de chance de um atraso de 4 minutos
• 9.164428712% de chance de um atraso de 5 minutos
• 15.27404785% de chance de um atraso de 6 minutos
• 19.63806152% de chance de um atraso de 7 minutos
• 19.63806152% de chance de um atraso de 8 minutos
• 15.27404785% de chance de um atraso de 9 minutos
• 9.164428712% de chance de um atraso de 10 minutos
• 4.165649414% de chance de um atraso de 11 minutos
• 1.388549805% de chance de um atraso de 12 minutos
• 0.3204345702% de chance de um atraso de 13 minutos
• 0.04577636719% de chance de um atraso de 14 minuto
• 0.003051757812% de chance de um atraso de 15 minutos

E com isto o atraso médio é de: 7.5 minutos. Então os 12 minutos se transformam em 19.5 minutos (a 60 km/h) e cerca de 22 minutos a 50 km/h. E a velocidade média passa a ser 37.3 km/h (caso tenhamos os 60 km/h de velocidade média) ou 31.1 km/h  (caso tenhamos os 50 km/h de velocidade média).

O bizarro desta conclusão é que, olhando meu odômetro, o número é pouco menor do que 30 km/h. Ou seja, será que isto indica que o engarrafamento não tem o efeito que eu imaginava?

Em Trânsito

Um detalhe que sempre me interessou nas minhas andanças automobilísticas era o dos tempos de percurso. Por exemplo, da minha casa para a UnB o percurso é de cerca de 12 km. Como a maioria é feito em torno de 60 km/h então o tempo esperado de viagem é de 12 minutos.

Só que raramente isto acontece. Porque? Eu tenho quase certeza que é por causa dos semáforos que existem no percurso.

Em condições normais, cada semáforo fica 60 segundos aberto e 60 segundos fechado. Isto quer dizer que o tempo médio de espera em cada semáforo é de 30 segundos. O que acontece então quando se tem que passar por 1,2,3,4,5,6 semáforos? Sem perda de generalidade, mas assumindo independência entre eventos isto é (p+q)^6 (aonde p é probabilidade do semáforo estar aberto e q a dele estar fechado). Isto dá:

p^6+6*p^5*q+15*p^4*q^2+20*p^3*q^3+15*p^2*q^4+6*p*q^5+q^6

No caso quando ele está aberto temos um atraso de 0 segundos e quando ele está fechado temos um atraso de 60 segundos. Naturalmente a coisa é um pouco mais complicada, dado que os 60 segundos só ocorrem se chegarmos ao semáforo no instante em que ele fecha. Mas vamos simplificar. Se
Todos os semáforos estiverem abertos o tempo de atraso total é 0 - probabilidade 0.015625

• Se 1 semáforo estiver fechado o tempo de atraso total é 1 minutos - probabilidade 0.093750
• Se 2 semáforo estiver fechado o tempo de atraso total é 2 minutos - probabilidade 0.234375
• Se 3 semáforo estiver fechado o tempo de atraso total é 3 minutos - probabilidade 0.312500
• Se 4 semáforo estiver fechado o tempo de atraso total é 4 minutos - probabilidade 0.234375
• Se 5 semáforo estiver fechado o tempo de atraso total é 5 minutos - probabilidade 0.093750
• Se 6 semáforo estiver fechado o tempo de atraso total é 6 minutos - probabilidade 0.015625

Isto quer dizer que o tempo médio de atraso é:

T=  0.015625 *0+0.093750*1+0.234375*2+0.312500*3+0.234375*4+ 0.093750*5+0.015625*6 = 3 minutos

Ou seja o tempo médio de viagem será de 15 minutos. Mas há algo mais aqui: de cada 100 viagens teremos:

• 2 terão 12 minutos de duração
• 9 terão 13 minutos de duração
• 23 terão 14 minutos de duração
• 31 terão 15 minutos de duração
• 23 terão 16 minutos de duração
• 9 terão 17 minutos de duração 
• 2 terão 18 minutos de duração

Podemos reescrever isto em termos de velocidades médias.

V=  0.015625 *60+0.093750*55.38461538+0.234375*51.42857144+0.312500*48+0.234375*45+ 0.093750*42.35294118+0.015625*40 = 48.32584236 km/h

Isto sem contar com engarrafamentos, que diminuem naturalmente a velocidade de trânsito na via. E claro, na realidade nestas condições, o aumento médio de 3 minutos torna-se pequeno em comparação com o tempo no engarrafamento.

Chove Chuva...

Durante Julho tivemos chuva em Brasília. Isso foi uma surpresa para muita gente, incluindo eu. Assim fui atrás do site de meteorologia para ver quão provável isso é.

Então encontrei a seguinte série contando quantas precipitações maiores ou igual a 1 mm de chuva (1 litro por metro quadrado):

• Janeiro: 17 em 31 dias
• Fevereiro: 14 em 28 dias
• Março: 13 em 31 dias
• Abril: 9 em 30 dias
• Maio: 3 em 31 dias
• Junho 1 em 30 dias
• Julho: 1 em 31 dias
• Agosto: 1 em 31 dias
• Setembro: 5 em 30 dias
• Outubro: 13 em 31 dias
• Novembro: 16 em 30 dias
• Dezembro: 18 em 31 dias

Isto é de uma série de 1961 até 1990 (29 anos). Isto é o valor esperado de dias de chuva em julho (em 29 anos). Podemos converter isso para uma probabilidade? Sim, mas é um pouco complicado. Vamos simplificar o problema e dizer que destes 29 anos tivemos 11 anos com 0 dias com precipitação maior ou igual a 1 mm de chuva, 11 anos com 1 dia com precipitação maior ou igual, 4 anos com 2 dias com precipitação maior ou igual a 1 mm, 2 anos com 3 dias precipitação maior ou igual a 1 mm e 1 ano com 4 dias precipitação maior ou igual a 1 mm. Aí temos:

• 11 anos com 0 dias de precipitação maior ou igual a 1 mm
• 11 anos com 1 dia de precipitação maior ou igual a 1 mm
• 4 anos com 2 dias de precipitação maior ou igual a 1 mm
• 2 anos com 3 dias de precipitação maior ou igual a 1 mm
• 1 ano com 4 dias  de precipitação maior ou igual a 1 mm

E se calcularmos o número de dias esperados com precipitação maior ou igual a 1 mm teremos: (0*11+1*11+2*4+3*2+4*1)/(11+11+4+2+1) = 1 dia

O problema é que apesar da média estar correta, estes números foram tirados da minha cabeça. Eu não sei efetivamente quantos anos choveu quanto. Em outras palavras: eu não sei a distribuição de probabilidades real. Eu apenas criei uma distribuição fictícia apenas que satisfizesse o critério de "média de dias com precipitação maior ou igual a 1 mm de chuva igual a 1 dia".

Poderíamos, caso soubessemos estes dados, calcular quanto é o número esperado de anos com o mês de julho precipitação maior ou igual a 1 mm (no conjunto de 29 anos):

(11*0+11*1+4*2+2*3+1*4)/(0+1+2+3+4) = 2.9 anos

Este segundo dado é mais relevante para a pergunta quão comum é chuva em julho. Mas como encontrá-lo? Neste caso precisamos da série original de 1961 até 1990. E esta, infelizmente, eu não tenho.

Mas há algo que eu posso fazer, estimar máximos e mínimos (na realidade a maior variância e a menor variância). Temos

(0*0+29*1)/(0+29) = 1 dia (29 anos aonde todo ano tivemos 1 dia com precipitação maior ou igual a 1 mmm)

(28*0+1*29)/(28+1) = 1 dia (28 anos sem chuva mas um ano aonde tivemos 29 dias com precipitação maior ou igual a 1 mmm)

A variância no primeiro caso é:

(0*(0-1)^2+29*(1-1)^2)/(0+29) = 0

A variância no segundo caso é:

(28*(0-1)^2+1*(29-1)^2)/(28+1) = 28

Então temos os dois casos aqui: o de menor variância e o de maior variância. E por fim temos então o o número esperado de anos com o mês de julho precipitação maior ou igual a 1 mm (no conjunto de 29 anos):

Caso 1: (0*0+29*1)/(0+1) = 29 anos
Caso 2: (28*0+1*29)/(0+29) = 1 ano

E isto é mais ou menos o esperado nestas condições. Naturalmente no primeiro caso temos que a precipitação acumulada de julho é maior ou igual a 1 mm, e no segundo caso temos que a precipitação acumulada em julho é maior ou igual a 29 mm.

Podemos ainda fazer uma análise pela Transformada da incerteza. Mas isso fica para outro post.

Mais Previsões de Inflação

Até o momento as previsões feitas aqui estão indo razoavelmente bem: Inflação de 2013 - Muito provavelmente entre 5% e 6.8% (com 97% de probabilidade de ser abaixo de 6.8%).

Comparando os resultados só com janeiro (6.32%), incluindo até fevereiro (6.44%), incluindo até março (6.43%), incluindo até abril (6.51%). incluindo até maio (6.39%), incluindo até junho (6.16%) e com o valor calculado com a inclusão de julho (5.68%) temos uma melhora - precisamente porque julho teve o IPCA mais baixo (0.03%).

Naturalmente o valor esperado não é tudo. Muito mais útil são os intervalos de confiança. No caso atual, com os dados de julho temos uma chance de 0.3% da inflação ficar acima de 7.67% (a chance que a inflação fique acima de 6.8% é de 3%). Podemos afirmar que há uma chance de 99.99% da inflação de 2013 ficar abaixo dos 8.6%.

O limite inferior é 4.98% (compare com janeiro - 4.77%, e os acumulados até: fevereiro (5.04%), março (5.17%), abril (5.38%), maio (5.4%)) e junho (5.31%). Já o superior teve um progressão similar: 14.96%, 14.28%, 13.46%, 12.73%, 11.82%, 10.78% e finalmente 9.5% (incluindo julho). Sendo que valores superiores a 8.58% tem probabilidade inferior de ocorrência 0.01%.

As notícias não são ruins, muito pelo contrário.Claro que não sou uma firma que faz previsões de inflação, mas se eu tiver que estimar (chute educado) diria o seguinte:

• 43% de chance da inflação abaixo de 4.98%
• 82% de chance da inflação abaixo de 5.8%
• 97% de chance da inflação abaixo de 6.8%
• 99% de chance da inflação abaixo de 7.7%

E vejamos como a bola vai rolar..

Um novo olhar na Transformada de Fourier

Eu andei pensando um pouco sobre a Transformada de Fourier. Claro que livros e volumes já foram escritos sobre a mesma. Então a chance de trazer uma nova contribuição para a transformada é, digamos, um tanto improvável.

No entanto, isto não impede que eu possa ficar "brincando" com a mesma. Aliás, para o dia a dia da transformada, a forma de cálculo numérico da transformada é até mais relevante, ou pelo menos prática, que forma integral que normalmente é ensinada. Aliás, vale a pena lembrar que a famosa FFT é na realidade uma forma rápida de cálculo da série de Fourier e não da transformada de verdade (há a implicação da periodicidade do sinal no desenvolvimento do algorítimo).

Então, fiquei pensando: se a FFT não é na realidade uma transformada, será que tem algum modo de fazer uma transformada mesmo numericamente sem nos envolvermos no problema dos cálculos das integrais? Bem, existe sim e vou mostrar aqui.

A transformada de um impulso atrasado no tempo é bem conhecida:
O que isso nos ajuda? Aqui vem a parte interessante. Ao amostrarmos o sinal original estamos na realidade multiplicando o mesmo por uma sequência se impulsos. Então a realizarmos a transformada de Fourier do sinal amostrado estaremos transformando esta sequência de impulsos em uma série a ser somada.
Basicamente, um exemplo é melhor do que mil palavras. Vamos considerar um seno e amostrar o mesmo a cada T/4 (0, pi/2, pi, 3*pi/4 e 2*pi). Teremos em um período:

sin(0)*d(t-0)+sin(pi/2)*d(t-pi/2)+sin(pi)*d(t-pi)+sin(3*pi/2)*d(t-3*pi/2)+sin(2*pi)*d(t-2*pi)

Como sin(0)=sin(pi)=sin(2*pi)=0, então não precisamos nos preocupar com esses. Para um somatório de n=0 até infinito o termo geral fica:

sin(n*pi/2)*d(t-n*pi/2)

Ao transformarmos isto temos o somatório de 0 até infinito de n:

sin(n*pi/2)*exp(-j*w*n*pi/2)

Isto pode ser somado:

1/(2*j)*(1/(1-I*exp(-1/2*I*w*Pi))-1/(1+I*exp(-1/2*I*w*Pi)))

Isto resulta em:

exp(-1/2*I*w*Pi)/(exp(-I*w*Pi)+1)

Essa é a transformada do seno? Não, esta é a transformada do seno amostrado.

E se repete a cada 2 rad/s. Bem, e de que serve isto? Ora, para sinais finitos no tempo, esta visão de transformada é mais próxima da realidade do que a suposição de periodicidade.

E, não podemos esquecer: aqui temos uma transformada que resulta em um espectro contínuo, e não discretizado como no caso da FFT.

Uma Bomba Penumática

Por diversos motivos voltei minha curiosidade ao funcionamento do pulmão. Essencialmente, ele é uma bomba pneumática, portanto também é regido pelas mesmas equações de bombas que discuti anteriormente no caso do coração.

Mas há um fato curioso: a relação entre o volume e o gradiente de pressão é diferente para a inspiração e a expiração. Como na modelagem por circuitos o volume é equivalente a corrente e a pressão é equivalente a voltagem, temos um fenômeno de histerese aqui.

Então fiquei pensando no que poderia causar isso. Meu palpite inicial era da questão da pressão atmosférica e seu efeito na inspiração (gradiente de pressão negativa no pulmão) e expiração (gradiente de pressão positiva no pulmão).

Mas então tive outra idéia: a função forçante de expiração e inspiração poderiam ser diferentes;

Eu pensei em algo do tipo: -sin(2*t) de t=0 até Pi/2 e sin(t-Pi/2) de t=Pi/2 até 3*Pi/2. Isso me deu a idéia de calcular por série de Fourier este tipo de função.

A primeira coisa que notei é que há uma descontinuidade na derivada em t=Pi/2. Para resolver isto modifiquei a função para: -1/2*sin(2*t) de t=0 até Pi/2 e sin(t-Pi/2) de t=Pi/2 até 3*Pi/2. Isto resolveu o problema, mas introduziu uma outra questão: há um termo DC na série - que indicaria uma pressão constante. Pode ser o equivalente a pressão atmosférica - realmente não sei.

Mas a série em si é fascinante. Na representação exponencial temos:

w0=4/3
c0=1/Pi
ck := -3/2*(-27*exp(-2/3*I*Pi*k)-16*k^2+9+16*exp(-2*I*Pi*k)*k^2-36*exp(-2*I*Pi*k))/Pi/(4*k^2-9)/(16*k^2-9) (Notação do Maple).

Se considerarmos a descontinuidade inicial temos:
w0=4/3
c0=2/3*1/Pi
ck: = -3*(-8*exp(-2/3*I*Pi*k)*k^2-9*exp(-2/3*I*Pi*k)-16*k^2+9+8*exp(-2*I*Pi*k)*k^2-18*exp(-2*I*Pi*k))/Pi/(4*k^2-9)/(16*k^2-9) (Notação do Maple)

Por motivos de simplificação vamos ficar com a série da função sem a descontinuidade. Na série trigonométrica teremos:
a0=1/Pi, b0=0
a1=-81/70*1/Pi, b1=-81/70*3^(1/2)/Pi
a2=81/770*1/Pi, b2=-81/770*3^(1/2)/Pi
a3=2/45*1/Pi, b3=0
a4=81/27170*1/Pi, b4=81/27170*3^(1/2)/Pi
a5=81/71162*1/Pi, b5=-81/71162*3^(1/2)/Pi
a6=81/71162*1/Pi, b6=-81/71162*3^(1/2)/Pi

Como fica a função com estes termos?

Para verificar se isto tem alguma correlação com a verdade, teríamos de ver a pressão inspirada e expirada no tempo. Uma dica interessante...