Minimizando o erro de medição - ou como economizar como segurança

Um dos grandes avanços na engenharia foi a inclusão da incerteza nos cálculos e projetos de sistemas. E aqui vou mostrar para vocês uma forma de minimizar o erro quando temos duas fontes de medição com erros intrínsecos diferentes.

A princípio vamos considerar duas medições que podem ou não ser correlacionadas, mas depois vamos ver somente o caso sem correlação. O erro em questão é dado pela variância da medida, ou pelo desvio padrão da medida. Um exemplo é que podemos ter duas medições de distância: uma usando uma trena e outra usando um laser.

Então temos:

Medida 1: vamos chamar de x com valor esperado  com desvio

Medida 2: vamos chamar de y com valor esperado  com desvio

Estamos medindo a mesma grandeza, e devido à natureza da medida os dois valores não são iguais. Então podemos fazer uma estimativa do valor baseado em uma combinação linear das duas medidas:

A equação tem essa forma porque é uma média ponderada das duas medidas.

O que queremos é minimizar o erro de medição, o que pode ser traduzido como escolher   de modo a minimizar a variância de z. Felizmente tudo isso pode ser encontrado matematicamente: minimizar uma variável significa igualar sua derivada a zero.

Então vamos partir do valor esperado da média ponderada:

E o segundo momento da média ponderada:

A expressão do segundo momento pode ser simplificada para:

Para chegarmos na expressão em função da variância usamos as identidades:

Fazendo a substituição temos:

Mas note que:

Assim podemos simplificar a expressão anterior para:

Portanto temos o conjunto com duas equações com :

Para encontramos o valor de  que minimiza o desvio padrão fazemos:

A solução é:

Assim a estimativa de variância mínima é:

No caso sem correlação (correlação nula) temos:

Um ponto importante: esta combinação é independente do tipo de distribuição de probabilidade das variáveis. E com isso vamos a um exemplo:

Pergunta: Considere duas medições de uma distância: 0.95 e 0.98, sendo a primeira com um desvio padrão de 0.2 e a segunda com um desvio de 0.3. As duas medidas são descorrelacionadas. Qual é a melhor estimativa para distância?

Resposta: Usando os valores temos 0.96 (0.9592) com desvio de 0.17 (0.1664). O peso calculado nesse exemplo foi 0.69 e 0.31. Vamos ver como a média e o desvio se comportam nesse exemplo simples variando o valor de w (de 0 a 1):

Média	Desvio

Podemos ver que o ponto que temos o desvio padrão mínimo é justamente o ponto calculado pela equação.

Muito bem e daí?

Bom, vamos supor que você esteja investindo. Você tem dois investimentos: um com menos risco e outro com mais risco. O investimento de menos risco te retorna menos dinheiro (média menor), mas é mais seguro (desvio menor); enquanto o de mais risco te retorna mais dinheiro (média maior), mas é menos seguro (desvio maior). Como você deve alocar os recursos de modo a minimizar o risco? E qual será o retorno esperado?

Creio que agora fica claro o potencial dessa equação. Vamos colocar números:

Investimento 1: Retorno anual 12% (1.12) e desvio de 1% (0.01)

Investimento 2: Retorno anual 16% (1.16) e desvio de 5% (0.05)

Colocando nas equações temos os pesos de 0.96 (0.9615) e 0.04 (0.0385), que resulta em um valor esperado de 12.15%. Pode não parecer muito, mas o desvio (0.981%)  é menor do que o do investimento 1  (1%) sozinho.

Isto quer dizer que esta mistura é mais segura! Parece mágica, mas não é!