Olhando no Retrovisor – COVID 19 - Parte 3

Uma das formas que podemos modelar vários picos é através da transformada da incerteza ou de Monte Carlo. Eu já fiz isso anteriormente considerando R0 e T0 como variáveis aleatórias de distribuição uniforme (R0 entre 2 e 3 e T0 entre 5 e 15). O resultado apresenta apenas um pico em infecções mas a curva média é diferente.

 

Já a comparação entre as curvas de R0=3.8 e T0=7 com as curvas de Monte Carlo para R0 entre 1.9 e 5.7 (média 3.85) e T0 entre 4 e 10 (média 7) são bem diferentes:

Curvas com valores de R0=3.8 e T0=7.
Curvas medias com R0 entre 1.9 e 5.7 (média 3.85) e T0 entre 4 e 10 (média 7)

 

Apesar de termos um efeito de difusão da curva de infectados, ainda não temos uma situação de vários picos. Uma forma de fazermos com que esses picos apareçam é mudar a equação. Vamos supor que temos mais de uma infecção e outra categoria de recuperação. Assim temos:

Vamos começar supondo que as duas infecções atinjam a mesma população, mas tenham R0 (R1 e R2) diferentes. Assim as equações são:

O resultado é que temos duas infecções mas com picos muito próximos, e que praticamente todo mundo é infectado por uma ou outra infecção.

Temos uma curva diferente, mas os picos ainda estão praticamente coincidentes. O modo de resolver este problema é introduzir tempos de início diferentes. Assim temos os dois picos que estamos procurando.

Aqui ainda estamos considerando que apenas a população susceptível que é afetada. Se quisermos considerar novas variantes temos que incluir na população susceptível parte dos recuperados.

Desta forma vemos que este modelo de múltiplas infecções ocorrendo em tempos diferentes consegue reproduzir os efeitos de pico que vemos nos dados reais. Mas é isso que realmente aconteceu? Bem, não dá para afirmar, mas pelo menos o resultado está consistente com a ocorrência de várias ondas na COVID (alfa, beta, gama, delta e omicrom).

E como veremos em outro post, nesses casos a vacina fez toda diferença.

Olhando no Retrovisor – COVID 19 - Parte 2

Vimos no post anterior como foi a evolução da infecção de COVID no Brasil. Agora vamos ver que modelo matemático podemos usar para tentar chegar nos dados que tivemos. Vamos começar com o modelo mais simples onde temos a população geral S e os infectados I. Neste caso as equações gerais são:

Os parâmetros do modelo são o número de reprodução R0 e o tempo de incubação ou manifestação da doença T0.  Neste modelo, temos que toda população é infectada eventualmente, restando apenas saber quanto tempo leva para tanto.  Por exemplo, se T0=7 e R0=1.9 temos o seguinte resultado:

Isso supondo que a população inicial vale 0.999 e o valor inicial dos infectados é 0.001. O modelo pode ser simplificado já que os dois parâmetros R0 e T0 aparecem como uma razão:

Claramente este parâmetro dita a velocidade da infecção, pois quanto maior menos tempo leva para infecção atingir toda população. No caso anterior tivemos que  , se dobramos este valor temos:

Assim quanto maior for o parâmetro, menos tempo a infecção leva para se espalhar. Isso é verdade mesmo em modelos mais sofisticados. O modelo pode incluir mais variáveis dependendo do grau de complexidade desejado. Por exemplo, se os infectados eventualmente recuperam a saúde (ou falecem) podemos incluir um conjunto de recuperados R no sistema de equações:

Os recuperados são retirados do sistema (podendo ser por falecimento ou recuperação). Seja como for podemos traçar os resultados para os mesmos parâmetros dos casos anteriores, começando por R0=1.9 e T0=7.

De forma similar podemos obter os resultados para R0=3.8 e T0=7

O que vemos imediatamente é que nem todos os susceptíveis são infectados. Outra característica é que o tempo até que a infecção cumpra o curso aumenta bastante.

Deste modelo simples podemos incluir novos efeitos e ver como a situação se altera. Mas algo bastante claro que não aparece neste modelo é a presença de vários picos de infecção, como vimos no caso real.

Vamos ver como isso pode ser modelado em outro post.