Esta é uma versão corrigida do post
anterior – eu estava muito animado e não corrigi muita coisa e só fui perceber
depois
Se relembramos o modelo inicial para o
preço de uma ação:
Esta é uma versão discreta da equação
diferencial
Então de forma similar podemos pensar em
um novo modelo para o preço da ação como:
Se 
for muito grande voltamos ao modelo inicial. Mas
caso contrário o que isso implica em termos do retorno log-normal original que
tínhamos? Bem, se partirmos da equação diferencial original:
Algo similar pode ser feito no caso da
equação diferencial logística:
Usando expansão em frações parciais:
Então temos:
Simplificando:
Que resulta em:
E de modo similar ao ao modelo de retorno log
normal usado anteriormente bastaria considerar que 
era uma variável aleatória normal. Mas no
nosso equacionamento anterior, consideramos a equação discreta e não a contínua. Então
poderíamos fazer algo parecido? Bem, a resposta é sim:
Simplificando temos:
Novamente podemos considerar 
como normal e usarmos algo similar ao caso
anterior:
E usar as equações para calcular a média
e variância da amostra:
Comparando com os casos temos:
|
Estimador |
Crescimento
Exponencial |
Crescimento
logístico |
|
|
|
|
|
Média |
|
|
|
Variância |
|
|
No caso do crescimento exponencial tínhamos
duas formas de calcular 
.
Mas dois problemas logo se tornam
evidentes: quem é e como encontrar a expressão da função
densidade de probabilidade?
O valor de seria o
preço da ação quando a fatia de mercado da companhia está totalmente ocupada. E
isso é um problema, pois efetivamente não temos como prever este valor de forma
precisa. Vamos encontrar a função densidade de probabilidade exata e também
usar um método numérico para encontrar possíveis soluções. A expressão do preço
é encontrada a partir de:
Geralmente não temos o histórico
completo, então consideramos as medições a partir de um tempo T:
Substituindo temos:
Por fim:
Essa expressão pode ser usada em conjunto
com os estimadores:
Com possuindo uma distribuição normal. Nesse caso,
a suposição de normalidade da taxa é mais fraca do que na derivação da
distribuição de retornos log-normal. No entanto, a suposição ainda é útil para
os cálculos. Mesmo assim o parâmetro é um complicador (ou liberador) já que a sua
estimativa irá modificar razoavelmente o cálculo do retorno. Usando a
transformação de variáveis temos:
No caso temos:
Assim:
Onde a distribuição de probabilidade de 
é:
Aplicando a transformação temos:
Substituindo os termos temos:
Do ponto de vista da função cumulativa de
probabilidade temos um comportamento não muito dissimilar a distribuição
log-normal. Só que neste resultado, a função é limitada ao valor de . E este parâmetro é
chave no cálculo da distribuição. No caso de tender a infinito a densidade resultante
retorna a log-normal:
Mas como vimos antes, nos casos reais as
medições não começam da origem então usamos:
Assim, a densidade de probabilidade sobre
algumas pequenas alterações
Com isso temos a distribuição final.
Nesta distribuição, o parâmetro é bastante relevante e define a forma da
curva. E este parâmetro é bem difícil de estimar, sendo que a presença de
competição pode modificar razoavelmente a distribuição resultante.
Como exemplo usamos os dados da TIMSA
considerando que 
, 
e usamos a série que tínhamos chegando a:
Com isso fizemos a simulação de
Monte-Carlo e usamos a equação para obter a representação da densidade de
probabilidade.
|
|
|
|
Simulação
de Monte-Carlo para 40 dias. A média é 25.45 e desvio 9.25 |
Gráfico
da pdf para 40 dias. A média é 25.47 e o desvio 9.23 |
Se repetirmos o exemplo anterior para
verificar a estimativa do valor da ação no dia 21/11 (cujo valor real
era de R$ 24,71), chegamos ao valor estimado de R$ 24,79 com desvio de R$ 2,28.
|
|
|
|
Simulação
de Monte-Carlo para 9 dias. A média é 24.79 e desvio 2.18 |
Gráfico
da pdf para 9 dias. A média é 24.79 e o desvio 2.17 |
Ainda com essa nova modificação, o problema ainda está modelando apenas uma empresa no mercado assumindo nenhuma influência das demais empresas no seu preço. Mas agora temos um limite no crescimento e seu efeito na distribuição de probabilidade de retorno.
