No caso do portfólio a solução do problema de menor variância não é a única maneira possível de maximizar o retorno. Se recordarmos encontramos o mínimo de:
Mas podemos maximizar o lucro sobre o
risco, e o resultado não é igual ao caso anterior. Partimos das mesmas
equações:
O lucro sobre o risco é dado por:
Daí fazemos o mesmo procedimento de
encontrar o máximo:
Note que isso é diferente do resultado de
minimização da variância
Qual dos dois dá o melhor resultado? Bem,
a variância não será o valor mínimo (mas será próxima ao mínimo), mas o retorno
será maior que o esperado anteriormente. Podemos ver a diferença da curvas no
exemplo da medição (0.95 e 0.98, sendo a primeira com um desvio padrão de 0.2 e
a segunda com um desvio de 0.3).
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Mínimo Desvio (Variância) |
Máximo retorno/risco |
Os valores dos pesos w são muito próximos
entre si (0.6923 e 0.6857), mas não são iguais.
Usando os dados anteriores:
Investimento 1: Retorno anual 12% (1.12)
e desvio de 1% (0.01)
Investimento 2: Retorno anual 16% (1.16)
e desvio de 5% (0.05)
Temos 0.9615 (minimizando a variância) e
0.9602 (maximizando retorno sobre risco), que são bastante próximos entre si. E
este geralmente será o caso, sendo que assim como a minimização da variância
teremos resultados mais próximos da grandeza com menor variância. Do ponto de
vista prático as duas estratégias são praticamente equivalentes.
Mas esta não é a única maneira de
calcular o retorno em um investimento. Podemos incluir um nível de referência
de retorno 
(por exemplo um título do governo) e passarmos
a minimizar o valor que temos além do nível de referência:
A solução ainda é muito parecida, mas é
bem conhecida em teoria de portfólio:
